數學特色選修 三子棋與棋局人工智能分析 (響尾蛇的數學天地)

玩法與規則

「三子成一線，輸嬴就決定」從這一句口訣就可以了解三子棋判定勝負的規則。三子棋亦是農家休閒活動之一，有點像在井字上玩○、Ｘ成一直線的遊戲。此棋棋盤是在一正方形上畫出四條等分線。棋子共六枚（分成黑白各三枚），每人持三子，一次輪下一子於棋盤的交叉點上，全部下定後才可移動，誰可擺成直線就獲勝。

皮卡利亞棋

• 具備能力：分析、組織規劃與佈局。
• 遊戲人數：2人。
• 需用物品：兩種顏色的棋子，每種各3個，遊戲圖一份，如圖一所示。

遊戲規則

1. 放置棋子：玩家輪流在放置棋子，除了正中間的方格外其餘均可擺放棋子。
2. 棋子全部擺完後，玩家就開始移動棋子，每次可移動一個棋子至鄰近的空格。
3. 遊戲結束的條件：當有一方的棋子先連成三個成一直線，直的、橫的和斜的連線均可（總共有八條連線），即可獲得勝利。

遊戲示範

假設甲和乙玩此遊戲，甲持黑棋，乙持白棋，由乙先放棋子，遊戲部分過程和結果如下圖三所示。最後甲先連成三個棋子成一直線，所以遊戲由甲獲得勝利。

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Scratch 演算分析

先手勝? 後手勝?

井字遊戲並沒有什麼必勝的手法，只要最聰明的選擇，可保持不敗。也就是說：如果對下的雙方對本遊戲 都最佳選擇時，和局的結果是 100 % 。

井字遊戲雖然十分簡單，但在小朋友間可是十分流行且受歡迎的哦！也由於他的簡單，所以是訓練推理能力的最佳數學遊戲。

數學老師 尤怪 就把所有的對下情況全部推演出來，請大家參考。為了方便說明，先手玩家以○註記表示， 後手玩家則以Ｘ註記表示，而每一個格子由左上到右下加以編號如圖 1，以後我們說註記在 1 號位置 就是註記在左上角的意思。

1 2 3

4 5 6

7 8 9

 井字遊戲棋盤的編號

第一手的變化：第一手時雖然 9 個空格都可下，好像是有 9 種變化，但是若將整個棋盤旋轉、翻轉過後， 可能的變化只剩下三種，即下在 1、2、5 號三個位置

 第 1 手的可能變化只有 3 種

以下分別就這三種變化做詳細的推演：

第一手下在四個角落的變化

當第一手○下在角落 ( 即 1 號位置 ) 時，Ｘ回應的著法共有五種 ( 其他三個著法可用旋轉、翻轉的方法歸 入這五種著法 )。 

第一種著法是Ｘ下在 2 號位置，此種著法必敗

○續下 7 號位置。

Ｘ必須下在 4 號位置，否則讓○下在這裡就連成一直線獲勝了。

○註記 9 號位置，遊戲的勝負已經分曉，因為Ｘ不可能同時擋住 5、8 兩個位置， 所以○一定可以連成一直線獲勝。

第二種著法是Ｘ下在 3 號位置，此種著法必敗，後續的著法如下圖，當○註記 9 號位置後， 不論Ｘ如何阻擋，已無法阻止○連成一線了。

第三種著法是Ｘ下在 6 號位置，此種著法必敗，後續的著法如下圖，當○註記 5 號位置後， 不論Ｘ如何阻擋，已無法阻止○連成一線了。

第四種著法是Ｘ下在 9 號位置，此種著法必敗，後續的著法如下圖，當○註記 3 號位置後， 不論Ｘ如何阻擋，已無法阻止○連成一線了。

第五種著法是Ｘ下在 5 號位置，此種著法的結果比較複雜，但大概都會以平手結局：

首先來看看○註記在 2 號位置的情況，後續的著手無任何變化的可能，當○下到 6 號 位置之後，雙方都不可能連成一直線，註定以平手收場了：

再來來看看○註記在 3 號位置的情況：
同樣的，後續著手無任何變化的可能，當Ｘ下到 7 號 位置之後，雙方都不可能連成一直線，註定以平手收場了：

再來是○註記在 6 號位置的情況：

如果Ｘ下在 2 號位置則註定以平手收場了：

如果Ｘ下在 3 號位置也註定以平手收場：

如果Ｘ下在 4 號位置則必敗：

如果Ｘ下在 7 號位置也必敗：

如果Ｘ下在 8 號位置必和：

如果Ｘ下在 9 號位置，正常的話也是以和收場： 

最後來看○註記在 9 號位置的情況：

Ｘ的著法可以歸納為兩種，第一種是Ｘ下在 2 號的位置，此必和：

第二種是Ｘ下在 3 號的位置，此必敗：

第一手下在 5 號位置的變化

當第一手○下在 5 號位置時，Ｘ回應的著法可歸納為二種。

第一種著法是Ｘ下在 1 號位置：

此時○的回應又可歸納為四種：

第一種著法是○下在 2 號位置，此時必和：

第二種著法是○下在 3 號位置，此時必和：

第三種著法是○下在 6 號位置，此時必和：

第四種著法是○下在 9 號位置： 

此時Ｘ的回應有三種，第一種是Ｘ下在 2 號位置，此時必敗：

第二種是Ｘ下在 3 號位置，此時必和：

第三種是Ｘ下在 6 號位置，此時必敗：

第二種著法是Ｘ下在 2 號位置，此種著法必敗：

第一手下在 2 號位置的變化

當第一手○下在 2 號位置時，Ｘ回應的著法可歸納為五種。

第一種著法是Ｘ下在 1 號位置，此種著法的結果比較複雜，但大概都會以平手結局，以下僅選其代表性的 著法示例：

第二種著法是Ｘ下在 4 號位置，此種著法必敗：

第三種著法是Ｘ下在 7 號位置，此種著法必敗：

第四種著法是Ｘ下在 8 號位置，此種著法的結果比較複雜，但大概都會以平手結局，以下僅選其代表性的 著法示例：

第五種著法是Ｘ下在 5 號位置，此種著法的結果比較複雜，但大概都會以平手結局，以下僅選其代表性的 著法示例：

結論

先手玩家的最佳著法其第一步最好下在四個角落( 即 2、4、6、8 號位置 )，因為後手玩家除了下在 中央的 5 號位置之外必敗。即使對手下了該位置，只要回以馬步佈局或對角佈局也還有一半的勝算。

先手玩家第一步的次佳選擇在 5 號位置 ，因為後手玩家除了下在四個角落外必敗， 即使對手下了該位置，只要再下在對手的另一個對角也還有三分之二的勝算。

後手玩家的第一步，如果 5 號位置是空的則選擇 5 號位置，否則選擇在四個角落。只要掌握以上要領，再針對當時情況稍微思考一下，必可保持不敗。

必勝策略

如果你先下x ,而對方下o在藍色區任一格,你必勝.

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