【112學測衝刺・數學】完全弄懂1題，勝過八成懂了10題

隨著學測一天天接近，數學科的準備要回歸到「基本」，課本跟習作一定要熟練，不用一直刷難題。而針對解題技巧與觀念，台南家齊高中數學老師黃光文，為考生整理出13個重點。

前陣子，我收到一個學生的訊息，他提到自己目前是寫複習講義、和補習班的歷屆模考考卷。改題目時會把每題的詳解看完，也嘗試把數學課本習作的題目觀念讀熟，但發現還是沒辦法解對多變的歷屆考題，覺得自己一直沒有辦法提升，因此來詢問該怎麼做才會有顯著的進步？

我就個人經驗整理一下，也補充去年未提到的重要類型（原則上經典類型先不列入），希望對一些焦慮的高三學生及家長能有些許幫助。

一、形數「雙刃」結合

華羅庚曾說過：「數缺形少直覺，形少數難入微」。這句話的大意是：如果代數缺乏幾何的幫助會少了直觀性，幾何如果少了代數的協助就會較難精確，所以必須「形數結合」的學習才能事半功倍。高中數學最重要的兩塊區域就是代數和幾何，如果可以在代數跟幾何中靈活的切換，很多學測題都可以迎「刃」而解，這個「刃」就是「代數」跟「幾何」這兩把刀。

利用幾何作圖，可以讓我們對題目能有更直觀的了解。

108學測單選1，當你把圖形畫出來答案就很明顯了。一般而言，「幾何」直觀、快速，可是「吃感覺」。很多問題雖是問圓上的點，但解題是聚焦在圓心處理，因為圓上點太多容易失焦。

如果還是沒感覺，那你就把它交給代數，別忘了「座標化」是一個很強的工具。當你把圖形座標化，即使你的「幾何感」沒那麼強烈，依然可以輕鬆地解開問題。

有趣的是108學測那題，很多學生將圖形誤判為立體圖形。

在這特別提醒一下：學測考題如果是立體圖形，一定會讓看不見的線為「虛線」，就像109學測第13題。

二、改變視角看考題

有些學測的題目，會把你課堂上熟悉的形狀做一下旋轉和平移，如果探討的還是相對的關係，那可以轉成你習慣的方式去處理。

108年這題，如果學生有抓到比例是，這個題目就變得很輕鬆。同樣的，107年這題，當你把它圖形轉正，就可以熟悉地解出。

而109學測這題只要看出奇函數對稱原點，就會秒解了。

三、先直觀分類，再仔細分析

排列組合和機率的題目，一直是很多高中生害怕的單元，學測幾乎每年都考。這幾年的趨勢，很明顯的不會強調很刁鑽的題目，大部分題目不需要特殊的技巧，只要系統化討論，就可以得出答案，也就是掌握「先分類再分析」的重點。

不用特別去磨練難題，有時做太多難題反而會想太多，只要有系統討論，不要重複，不要漏掉，更重要是不要想得太複雜。

四、估算能力的應用

近幾年學測增加了估算題比例，也就是題目沒有要你精確的算出答案，而是要你大概估計答案的範圍，其實這比較符合現實狀態，就像我問你現在的時間，你如果回答我「早上9點45分37秒5」是很詭異的，我可能只要知道大概的時間。

尤其是單選第6題，相關係數是-0.99非常接近-1， 所以這一題的解法是以相關係數-1處理，可以快速的判斷出答案。

五、善用除法原理

多項式的運算、餘式定理，幾乎每年學測都會出現，很多學生在這裡很頭痛，因為題目的變化性大，但其實學測多項式的考題大部分都跟除法原理有關。

以除法原理f(x)=g(x)q(x)+r(x)為核心概念，幾乎可以解決大部分的題目。

六、 弧度量跟度度量

這類型的題目在大考並不常出現，只要一出現通常答對率都不高。

這類型的題目其實並不難，主要是你要分得清楚π是當3.14還是當180度，同樣的，要分得出的差別。

七、拿出「雞兔同籠」概念

這個題目有些解法非常的冗長且不直觀，如果改用國小的雞兔同籠問題，也就是倒扣來看，第三天每賣1公斤少賺8元，第二天每賣1公斤少賺4元，才能看出題目真的想要表達的。我常會跟學生講，不是算得出來就好，你要看得懂題目想表達的意思，才有機會提取概念，如果做不到，可以多跟老師討論。

八、 素養題，從生活情境去思考

我曾問過學生：什麼叫做素養題？

學生回答幾乎都是：「就是題幹很長，閱讀理解的題目⋯⋯」

我覺得這是個誤解，不可諱言地，如果是情境題，敘述會較冗長。不過，一般題目測驗的是「數學的知識」，而素養題著重的是「解決問題的能力」，所以通常會比較「全面性」、「情境化」。

事實上，大考每年都有素養題，我認為這類題型不用特別花很大的力氣去訓練，因為「很難訓練」，其實只要靜下心理解題意，通常問題不會太難解，因為一定會連結你熟悉的題型。

107年這題答對率很高，因為這是學生申請入學常用到，很容易連結先備知識，反而108年學測那題讓我比較驚訝，答對率只有26%，是108年學測選填答對率第二低的。這一題如果靜下心分析出直徑是足球場的寬，就會非常快速解出。有趣的是，我曾在學校考過一題類似的題目：

學生會問我是幾百公尺的跑道，我說不重要，因為圓的半徑並不會影響答案：2π(R+6)-2π=12π 。

九、 披著狼皮的羊（矩陣都不矩陣了）

看到標題你可能第一直覺會想：什麼？你說反了吧！其實沒有。

近幾年學測在某些學生懼怕的單元，為了鼓勵不放棄，將難度下修很多，甚至只使用基本定義，再結合一些簡單的運算就可以解出。就像109單選4、6，雖然是學生頭痛的矩陣、對數單元，但解題卻只使用最基本的概念，「矩陣都不矩陣了」，所以才會說這些是披著狼皮的羊，同學千萬不要未戰先降了。

十、All、Some、None （文氏圖的應用）

12.某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有x人，數學及格但英文不及格的有y人。請選出正確的選項。

(1)x+y=39

(2)y≤11

(3) 三科中至少有一科不及格的學生有39-x+y人

(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人

(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人

【106年學測多選12】

10.某一班共有45人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有35人有手機，而有24人有平板電腦。設：

A為同時有手機與平板電腦的人數

B為有手機，但沒有平板電腦的人數

C為沒有手機，但有平板電腦的人數

D為沒有手機，也沒有平板電腦的人數

請選出恆成立的不等式選項。

(1) A＞B         (2) A＞C        (3) B＞C        (4) B＞D        (5) C＞D

【104年學測多選10】

這類型題目如果每一部份子集可明確算出，答對率就會高；如果子集是不確定的，只能求出範圍，那答對率都很慘烈，106年那題答對率7%，104年那題答對率21%，很可怕的答對率，其實這類型的題目主要觀念在取捨原理，利用聯集不大於宇集，去夾出交集子集的範圍，掌握切入角度，多練習一下應該不難。

十一、等差、等比的綜合概念（著重彼此關係的變化）

很多學生對等差、等比數列題目都是背公式帶入，只能做有明確首項、公差、公比的題目，可是最近幾年學測希望學生注意「關係」，所以很多考題會從等差中項、等比中項切入，更多是將等差等比結合在一起，怎麼結合 ?很簡單，將等比數列每一項取對數就會呈現等差的關係，這樣就結合指對數等差等比觀念了，想拿高分不要只會套公式，多著眼彼此關係的變化。

十二、統計圖表的解讀

下表是2011年至2018年，某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如2011年總就業人口為1,070.9萬人，65歲以上男性農業就業人口為69.1千人。試根據表格資料選出正確的選項。

(1)從2013年至2018年，65歲以上的男性農業就業人口逐年遞增

(2)從2013年至2018年，50歲至64歲之男性農業就業人口逐年遞增

(3)上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五

(4)上表中，每一年50歲至64歲之男性農業就業人口都少於49歲以下之男性農業就業人口

(5)就65歲以上之男性農業就業人口而言，2018年比2011年增加了不到一萬人

【109年學測多選12】

11.一個41人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過59分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為分的學生，新成績調整為分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。

(1) 若某人原始成績是9分，則新成績為60分

(2) 若某人原始成績超過20分，則其新成績超過70分

(3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

(4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數

(5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）

【105年學測多選11】

統計圖表的解讀對現代人愈來愈重要，學測的考題方向也是如此，一般而言不會要你真正計算，重點是這些統計量及圖表背後的意義，109那題只是簡單的解讀，105年那題答對率只有22%，很多同學都是被非線性變換嚇到，其實除了第3選項以後，其餘只要靜下心處理都不難，很多高中生只要看到標準化、相關係數、最佳化直線就放棄了，其實花時間將公式好好弄懂，為什麼標準化後，算術平均數為0標準差為1，相關係數不變，最佳化直線斜率會等於相關係數？所以標準化斜率＞1或不通過原點都是不可能發生的，這類型題目變化性不高，放棄是很可惜的。

十三、活用虛根成對、勘根定理、代數基本定理

實數多項式函數圖形虛根會成對出現，所以如果奇次方多項式一定有實根，這類型考題大都結合代數基本定理的延伸定理（幾次方程式有幾個根）、勘根定理，更容易結合一些邏輯問題的概念，例如：那是不是，這類邏輯的判斷一直很受大考的歡迎，因為邏輯能力本來就是核心素養能力，特別要提醒一下，有些講義說有理係數多項式無理根共軛出現，這是極大的錯誤。

4個考前準備方向，決不棄守基本題

109年學測號稱史上最簡單的學測，鑑別度卻頗高，我個人覺得，主要是因為考題和學生平常做的練習題類型較類似。

一、基本概念的加強

課本跟習作一定要熟練，不用一直刷難題，因為學測的題目你很難在市面上做到類似的，你一直刷題目，即使做了100題，你沒有形成概念，那學測出現的，絕對是第101題。相反的，你的基本概念如果建構得好，你會發現學測的題目很多是類似課本習作，有一些題目只是換一個說法，其他的只是把兩三個觀念加在一起，當然也會有超難魔王題，那個就看你現場的狀態了，你也練習不到，我觀察這麼多屆學生，如果真有把這一點做好，學測結果通常不會太差。

二、完全弄懂1題，勝過八成懂了10題

數學這個科目，你懂8成跟不懂的人分數幾乎是一樣的，因為都不會得分。如果你真正弄懂1題，因為題目彼此是有連結的，所以你會愈讀愈扎實，真的不用擔心題目做得不夠多。當然每天幾題維持「手感」還是需要的，還有前面提到幾種參考類型的能力一定要具備、熟悉。

三、試著講給別人聽或教別人

了解有分三個層次

• 知道（看得懂或聽得懂）
• 理解（可以和自己已知的知識產生連結）
• 傳達（轉述給別人聽讓他覺得有收穫）

看解答看得懂這只是知道，你沒有和自己已知的做連結，這樣很容易被遺忘也很難被運用，不要再一直刷你已會的題目，因為那只是在安慰自己，對你的整體實力不會有太大幫助。

你需要做的是，弄懂題目背後真正想考的概念，這有點難，但你可以問你的數學老師、和他討論，大部分高中數學老師對這一塊都超強的。

你還要試著去講給別人聽，雖然看起來好像很浪費時間，依我的經驗，這樣的效果反而更好。

四、 加強自我的心理建設

什麼都準備好了，接下來就是臨場發揮，太緊張一定沒辦法發揮實力。有些孩子就是很焦慮，我知道時間不多了，你們一定會慌亂，但很多時候你只能去相信去努力。

你說這樣就能讓學測數學明顯進步嗎？我不確定，我只知道這些努力，你們應該付出，你們也一定要付出。

我只知道帶了這多屆高三學生，只有看過因為不夠努力而後悔，從來沒有看過因為太過努力而後悔的。記得努力不會讓你失望，只有期待立即的回饋才會。